Consigne: Montrer que la fonction $$P(\cdot\mid H):\begin{align}{\mathcal F}&\longrightarrow[0,1]\\ A&\longmapsto P(A\mid H)\end{align}$$ est une probabilité

\(P(\Omega)\)
$$P(\Omega\mid H)=\frac{P(\Omega\cap H)}{P(H)}=\frac{P(H)}{P(H)}=1$$

\(\sigma\)-additivité

Pour toute suite d'événements \((A_i)_{i\in{\Bbb N}^*}\) d'événements disjoints deux à deux, $$\begin{align} P\left(\bigcup^{+\infty}_{i=1} A_i\;\middle|\;H\right) &=\frac{P\left( H\cap\bigcup^{+\infty}_{i=1} A_i\right)}{P(H)}\\ &=\frac1{P(H)}P\left(\bigcup^{+\infty}_{i=1}\underbrace{(A_i\cap H)}_{\text{2 à 2 disjoints}}\right)\\ &=\frac1{P(H)}\sum^{+\infty}_{i=1}P(A_i\cap H)\\ &=\sum^{+\infty}_{i=1}P(A_i\mid H)\end{align}$$

Consigne: Des étudiants se préparent à un examen. Le sujet sera fabriqué par l'un de leurs trois professeurs : Xxxx, Yyyy et Zzzz
Or, les étudiants redoutent qu'un certain chapitre soit posé à l'examen et ils évaluent à \(10\%\) la probabilité pour que le chapitre en question sorte si c'est Xxxx qui fait les sujets, \(40\%\) si c'est Yyyy qui le fait, et \(80\%\) si c'est Zzzz
Yyyy leur a dit : il y a une chance sur deux pour que ce soit moi qui fasse le sujet, et si je ne le fait pas, il y a trois chances sur cinq pour que ce soit Xxxx
Le jour J arrive, et le chapitre fatidique est posé à l'examen ! Sachant cela, calculer les probabilités pour que l'examen ait été posé par Xxxx, Yyyy ou Zzzz

Définition d'événements et lecture des données de l'énoncé
On note :
- \(X=\{\text{le prof Xxxx pose l}^\prime\text{examen}\}\)
- \(Y=\{\text{le prof Yyyy pose l}^\prime\text{examen}\}\)
- \(Z=\{\text{le prof Zzzz pose l}^\prime\text{examen}\}\)
- \(C=\{\text{le chapitre fatidique est dans l}^\prime\text{examen}\}\)
On sait que \(P(Y)=\frac12\), \(P(C\mid X)=0.1\), \(P(C\mid Y)=0.4\) et \(P(C\mid Z)=0.8\)
On veut \(P(Y\mid C)\), \(P(X\mid C)\) et \(P(Z\mid C)\)

$$P(X\mid Y^C)=\frac35=\frac{P(X\cap Y^C)}{P(Y^C)}=\frac{P(X)}{1-P(Y)}=\frac{P(X)}{1/2}$$ donc \(P(X)=\frac3{10}\)
De le même manière, \(P(Z)=\frac2{10}\)

Puisque \(X,Y,Z\) sont complémentaires, on a :$$\begin{align} P(C)&=P(X\cap C)+P(Y\cap C)+P(Z\cap C)\\ &=P(C\mid X)P(X)+P(C\mid Y)P(Y)+P(C\mid Z)P(Z)\\ &=\frac{39}{100}\end{align}$$

$$P(X\mid C)=\frac{P(C\cap C)}{P(C)}=\frac3{39}$$
De même pour \(Y\) et \(Z\)

Consigne: \(A_1,A_2,\ldots\) est une partition de \(\Omega\) telle que \(P(A_i)=\frac1{2^i}\) pour chaque \(i\) de \({\Bbb N}^*\)
Écrire la formule de conditionnement par tous les cas possibles de cette partition
L'événement \(B\) est tel que \(P(B\mid A_i)=\frac1{5^i}\) pour chaque \(i\). Calculer la probabilité de \(B\)

$$\begin{align}&P(B\mid A_i)=\frac1{5^i}=\frac{P(B\cap A_i)}{P(A_i)}\\ \implies& P(B\cap A_i)=P(B\mid A_i)P(A_i)=\frac1{10^i}\end{align}$$

$$B=B\cap\Omega=B\cap\left(\bigcup^{+\infty}_{i=1}A_i\right)=\bigcup^{+\infty}_{i=1}(B\cap A_i)$$ on a donc : $$\begin{align} P(B)&=\sum^{+\infty}_{i=1}P(B\cap A_i)\\ &=\sum^{+\infty}_{i=1}\left(\frac1{10}\right)^i\\ &=\frac19\end{align}$$

Consigne: On a deux dés ordinaires (à \(6\) faces, équilibrés) : un dé rouge et un dé vert
On les lance ensemble, plusieurs fois si nécessaire, jusqu'à la première fois où le dé rouge donne un six. On arrête alors les lancers
Quelle est la probabilité qu'au cours de cette expérience, le dé vert n'affiche jamais de six ?

Modélisation : définition des événements
\(\forall i\in{\Bbb N}^*\), on note :
- \(R_i=\{\text{le dé rouge fait son premier }6\text{ au }i\text{-ème lancer}\}\)
- \(V_i=\{\text{le dé vert a fait au moins un }6\text{ entre le premier et le }i\text{-ème lancer}\}\)
- \(E_i=\{\text{aucun }6\text{ ni du rouge ni du vert du premier au }i\text{-ème lancer}\}\)

Définition de l'événement dont on cherche la probabilité
$$\begin{align} G&=\{\text{le dé vert ne fait pas de }6\text{ du premier lancer au premier }6\text{ du rouge}\}\\ &=\{\text{un }R_i\text{ s}^\prime\text{est produit et de }1\text{ à }i\text{ les lancers du dé vert ne font pas }6\}\\ &=\bigcup^{+\infty}_{i=1}(R_i\cap V_i^C)\end{align}$$

Calculer les probabilités des événements dont on a besoin
$$\begin{align} P(R_i)&=\{\text{le dé rouge ne fait pas }6\;(i-1)\text{ fois puis fait un }6\}\\ &=\left(\frac56\right)^{i-1}\frac16\\ \\ P(V_i)&=P\left(\bigcup^i_{k=1}\{\text{le dé vert fait }6\text{ au }k\text{-ième lancer}\}\right)\\ P(V_i^C)&=P(\{\text{aucun }6\text{ vert du premier au }i\text{-ième lancer}\})\\ &=\left(\frac56\right)^i\end{align}$$

Calcul de la probabilité voulue

Les \((R_i\cap V_i^C)_i\) sont deux à deux disjoints. Ainsi, $$\begin{align} P(G)&=\sum^{+\infty}_{i=1}P(R_i\cap V_i^C)\\ &=\sum^{+\infty}_{i=1}P(G\mid R_i)P(R_i)\\ &=\sum^{+\infty}_{i=1}P(V_i^C)P(R_i)&&\quad\text{ car }\; P(G\mid R_i)=P(V_i^C)\\ &=\sum^{+\infty}_{i=1}\left(\frac56\right)^i\frac16\left(\frac56\right)^{i-1}\\ &=\frac16\frac65\sum^{+\infty}_{i=1}\left(\frac{25}{36}\right)^i\\ &=\frac5{11}\end{align}$$